A brief note on Properties and Identities of Inverse Trigonometric Functions . Read it before a test. Try each question at the end before you open its answer.
Reflection and partner rules Odd functions: sin − 1 ( − x ) = − sin − 1 x \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x sin − 1 ( − x ) = − sin − 1 x , tan − 1 ( − x ) = − tan − 1 x \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x tan − 1 ( − x ) = − tan − 1 x , cosec − 1 ( − x ) = − cosec − 1 x \operatorname{cosec}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosec}^{-1}x cosec − 1 ( − x ) = − cosec − 1 x . The other three: cos − 1 ( − x ) = π − cos − 1 x \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x cos − 1 ( − x ) = π − cos − 1 x , and the same for cot − 1 \cot^{-1} cot − 1 and sec − 1 \sec^{-1} sec − 1 . Partners: sin − 1 x + cos − 1 x = π 2 \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \dfrac{\pi}{2} sin − 1 x + cos − 1 x = 2 π for ∣ x ∣ ≤ 1 |x| \le 1 ∣ x ∣ ≤ 1 . tan − 1 x + cot − 1 x = π 2 \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \dfrac{\pi}{2} tan − 1 x + cot − 1 x = 2 π for all real x x x . Reciprocals: sec − 1 x = cos − 1 1 x \sec^{-1}x = \cos^{-1}\dfrac{1}{x} sec − 1 x = cos − 1 x 1 and cosec − 1 x = sin − 1 1 x \operatorname{cosec}^{-1}x = \sin^{-1}\dfrac{1}{x} cosec − 1 x = sin − 1 x 1 for ∣ x ∣ ≥ 1 |x| \ge 1 ∣ x ∣ ≥ 1 . Tangent and cotangent: tan − 1 1 x = cot − 1 x \tan^{-1}\dfrac{1}{x} = \cot^{-1}x tan − 1 x 1 = cot − 1 x for x > 0 x > 0 x > 0 , and cot − 1 x − π \cot^{-1}x - \pi cot − 1 x − π for x < 0 x < 0 x < 0 . Sums of inverse tangents Sum: tan − 1 x + tan − 1 y = tan − 1 x + y 1 − x y \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\dfrac{x + y}{1 - xy} tan − 1 x + tan − 1 y = tan − 1 1 − x y x + y when x y < 1 xy < 1 x y < 1 . Product above 1: add π \pi π if x > 0 x > 0 x > 0 , subtract π \pi π if x < 0 x < 0 x < 0 . If x y = 1 xy = 1 x y = 1 the sum is ± π 2 \pm\dfrac{\pi}{2} ± 2 π . Difference: tan − 1 x − tan − 1 y = tan − 1 x − y 1 + x y \tan^{-1}x - \tan^{-1}y = \tan^{-1}\dfrac{x - y}{1 + xy} tan − 1 x − tan − 1 y = tan − 1 1 + x y x − y when x y > − 1 xy > -1 x y > − 1 . Double angles and the triangle Triangle: sin ( cos − 1 x ) = cos ( sin − 1 x ) = 1 − x 2 \sin(\cos^{-1}x) = \cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2} sin ( cos − 1 x ) = cos ( sin − 1 x ) = 1 − x 2 . sin ( tan − 1 x ) = x 1 + x 2 \sin(\tan^{-1}x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} sin ( tan − 1 x ) = 1 + x 2 x and cos ( tan − 1 x ) = 1 1 + x 2 \cos(\tan^{-1}x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} cos ( tan − 1 x ) = 1 + x 2 1 . Sine form: 2 tan − 1 x = sin − 1 2 x 1 + x 2 2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\dfrac{2x}{1 + x^2} 2 tan − 1 x = sin − 1 1 + x 2 2 x for ∣ x ∣ ≤ 1 |x| \le 1 ∣ x ∣ ≤ 1 . Cosine form: 2 tan − 1 x = cos − 1 1 − x 2 1 + x 2 2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} 2 tan − 1 x = cos − 1 1 + x 2 1 − x 2 for x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0 . Tangent form: 2 tan − 1 x = tan − 1 2 x 1 − x 2 2\tan^{-1}x = \tan^{-1}\dfrac{2x}{1 - x^2} 2 tan − 1 x = tan − 1 1 − x 2 2 x for ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣ x ∣ < 1 . A worked example Find tan − 1 1 3 + tan − 1 1 4 \tan^{-1}\dfrac{1}{3} + \tan^{-1}\dfrac{1}{4} tan − 1 3 1 + tan − 1 4 1 and tan − 1 4 + tan − 1 2 3 \tan^{-1}4 + \tan^{-1}\dfrac{2}{3} tan − 1 4 + tan − 1 3 2 .
The first sum. x y = 1 12 < 1 xy = \dfrac{1}{12} < 1 x y = 12 1 < 1 . The fraction is 1 3 + 1 4 1 − 1 12 = 7 / 12 11 / 12 = 7 11 \dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{12}} = \dfrac{7/12}{11/12} = \dfrac{7}{11} 1 − 12 1 3 1 + 4 1 = 11/12 7/12 = 11 7 . The sum is tan − 1 7 11 \tan^{-1}\dfrac{7}{11} tan − 1 11 7 . The second sum. x y = 8 3 > 1 xy = \dfrac{8}{3} > 1 x y = 3 8 > 1 and x > 0 x > 0 x > 0 . The fraction is 14 / 3 1 − 8 / 3 = − 14 5 \dfrac{14/3}{1 - 8/3} = -\dfrac{14}{5} 1 − 8/3 14/3 = − 5 14 . The sum is π − tan − 1 14 5 \pi - \tan^{-1}\dfrac{14}{5} π − tan − 1 5 14 . Practice with new numbers
A program to try The program checks the main rules at one number.
Run it. Which lines print the same number twice?
1. Change x to -0.5. Do all the rules still hold?
Mistakes to avoid Wrong sign rule: the inverse cosine is not odd. cos − 1 ( − x ) = π − cos − 1 x \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x cos − 1 ( − x ) = π − cos − 1 x . No check on x y xy x y : the sum formula needs x y < 1 xy < 1 x y < 1 . Wrong denominator: a sum has 1 − x y 1 - xy 1 − x y and a difference has 1 + x y 1 + xy 1 + x y . A form used outside its interval: 2 tan − 1 x = sin − 1 2 x 1 + x 2 2\tan^{-1}x = \sin^{-1}\dfrac{2x}{1 + x^2} 2 tan − 1 x = sin − 1 1 + x 2 2 x needs ∣ x ∣ ≤ 1 |x| \le 1 ∣ x ∣ ≤ 1 . Check yourself Find sin − 1 1 4 + cos − 1 1 4 \sin^{-1}\dfrac{1}{4} + \cos^{-1}\dfrac{1}{4} sin − 1 4 1 + cos − 1 4 1 . Find cos − 1 ( − 1 4 ) + cos − 1 1 4 \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right) + \cos^{-1}\dfrac{1}{4} cos − 1 ( − 4 1 ) + cos − 1 4 1 . Find tan − 1 1 + tan − 1 2 + tan − 1 3 \tan^{-1}1 + \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3 tan − 1 1 + tan − 1 2 + tan − 1 3 . Find sin ( tan − 1 3 4 ) \sin\left(\tan^{-1}\dfrac{3}{4}\right) sin ( tan − 1 4 3 ) . For which x x x is 2 tan − 1 x = cos − 1 1 − x 2 1 + x 2 2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} 2 tan − 1 x = cos − 1 1 + x 2 1 − x 2 ? Sources NCERT, Mathematics Textbook for Class XII, Part I, Chapter 2: Inverse Trigonometric Functions. OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, Section 8.3: Inverse Trigonometric Functions. 
Written by StemPy Lab